Ví dụ thứ nhất: số nguyên

Một trong những nhóm quen thuộc nhất đó là tập hợp các số nguyên Z {\displaystyle \mathbb {Z} } chứa các số . . . , − 4 , − 3 , − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , . . . {\displaystyle ...,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,...} [3] cùng với phép cộng

Các tính chất sau đây của phép cộng các số nguyên được coi như mô hình cho các tiên đề nhóm trừu tượng cho theo định nghĩa bên dưới.

1. Với hai số nguyên bất kỳ a {\displaystyle a} và b {\displaystyle b} , tổng a + b cũng là một số nguyên. Do vậy phép cộng hai số nguyên không bao giờ cho kết quả là một số loại khác, như phân số chẳng hạn. Tính chất này gọi là tiên đề đóng đối với phép cộng.
2. Đối với mọi số nguyên a, b và c, (a + b) + c = a + (b + c). Hay phát biểu bằng lời, thực hiện cộng a với b đầu tiên, sau đó cộng kết quả với c sẽ cho cùng kết quả khi cộng a với tổng của b và c, tính chất này gọi là tính chất kết hợp hay tiên đề kết hợp.
3. Nếu a là một số nguyên bất kỳ, thì 0 + a = a + 0 = a. Số 0 được gọi là phần tử đồng nhất của phép cộng bởi vì khi cộng nó với một số nguyên bất kỳ sẽ thu được cùng số nguyên ấy.
4. Với mọi số nguyên a, tồn tại số nguyên b sao cho a + b = b + a = 0. Số nguyên b được gọi là phần tử nghịch đảo của số nguyên a và được ký hiệu −a.

Các số nguyên cùng với phép toán +, tạo thành một đối tượng toán học thuộc về một lớp rộng có những tính chất cấu trúc toán học giống nhau. Để có thể hiểu được những cấu trúc này như một tập hợp, định nghĩa trừu tượng dưới đây được phát biểu như sau.

Định nghĩa

Nhóm là một tập hợp, G, cùng với phép toán hai ngôi • (còn gọi là luật nhóm của G) kết hợp hai phần tử a và b bất kỳ để tạo ra một phần tử khác, viết là a • b hoặc ab. Để trở thành một nhóm, tập hợp và phép toán, (G, •), phải thỏa mãn bốn yêu cầu gọi là tiên đề nhóm:[4]

Tiên đề đóngVới mọi a, b thuộc G, kết quả của phép toán, a • b, cũng thuộc G.b[›]Tính kết hợpVới mọi a, b và c thuộc G, (a • b) • c = a • (b • c).Phần tử đơn vịTồn tại một phần tử e trong G, sao cho đối với mỗi phần tử a thuộc G, phương trình

e • a = a • e = a được thỏa mãn. Phần tử này là duy nhất (xem ở dưới) trong nhóm G.

Phần tử nghịch đảoĐối với mỗi a trong G, tồn tại một phần tử b trong G sao cho a • b = b • a = e, với e là phần tử đơn vị.

Kết quả của một phép toán có thể phụ thuộc vào thứ tự thực hiện. Nói cách khác, kết quả của việc kết hợp phần tử a với phần tử b không nhất thiết cho kết quả giống với khi kết hợp phần tử b với phần tử a; phương trình

a • b = b • acó thể không phải lúc nào cũng đúng. Phương trình này luôn luôn đúng trong nhóm các số nguyên với phép cộng, bởi vì a + b = b + a đối với hai số nguyên bất kỳ (tính giao hoán của phép cộng). Nhóm mà tính chất giao hoán a • b = b • a luôn đúng được gọi là nhóm Abel (theo tên của nhà toán học Na Uy Niels Abel). Nhóm đối xứng miêu tả ở phần sau là ví dụ của nhóm phi giao hoán.

Phần tử đơn vị của nhóm G thường được viết thành 1 hay 1G,[5] ký hiệu có nguồn gốc từ số 1 đơn vị. Phần tử đơn vị cũng có thể viết là 0, đặc biệt nếu phép toán nhóm được ký hiệu là +, và trong trường hợp này nhóm gọi là nhóm cộng tính. Phần tử đơn vị còn ký hiệu là id.

Tập G được gọi là tập cơ bản của nhóm (G, •). Tập cơ bản G được sử dụng một cách ngắn gọn cho tập (G, •). Theo cách rút ngắn tên gọi này, một cách viết ngắn gọn như "tập con của nhóm G" hay "phần tử của G" được sử dụng với ý nghĩa thực sự là "tập con của tập cơ bản G của nhóm (G, •)" hay "phần tử của tập cơ bản G của nhóm (G, •)". Thông thường, trong ngữ cảnh với ký hiệu như G là nhắc tới một nhóm hoặc tập cơ bản.

Ví dụ thứ hai: nhóm đối xứng

Hai hình trong mặt phẳng là tương đẳng với nhau nếu một hình có thể trở thành hình kia bằng cách sử dụng kết hợp các phép quay, đối xứng trục, và tịnh tiến. Bất kỳ hình nào cũng đều tương đẳng với chính nó. Tuy nhiên, một số hình tương đẳng với chính chúng không chỉ theo một cách, và những cách tương đẳng thêm này gọi là đối xứng. Một hình vuông có tám đối xứng của nó. Bao gồm:

id (giữ nguyên nó)	r1 (quay phải 90°)	r2 (quay phải 180°)	r3 (quay phải 270°)
fv (lật theo phương đứng)	fh (lật theo phương ngang)	fd (lật theo 1 đường chéo)	fc (lật theo đường chéo còn lại)
Các phần tử trong nhóm đối xứng của hình vuông (D4). Các đỉnh được tô màu và đánh số để phân biệt giữa chúng.

• phép toán đồng nhất không làm thay đổi đối tượng, ký hiệu là id;
• quay hình vuông xung quanh tâm nó về phía phải một góc 90°, 180°, và 270°, lần lượt ký hiệu là r1, r2 và r3;
• đối xứng trục (phản xạ) hình vuông qua đường trung bình theo phương đứng và phương ngang (fh và fv), hoặc qua hai đường chéo (fd và fc).

Các biến đổi đối xứng này được biểu diễn bằng các hàm số. Mỗi hàm này đặt một điểm trong hình vuông tương ứng với một điểm qua phép đối xứng. Ví dụ, r1 biến một điểm thành điểm thông qua phép quay về phía phải nó 90° xung quanh tâm hình vuông, và fh biến đổi điểm thông qua phép đối xứng trục qua đường trung bình theo phương thẳng đứng. Kết hợp hai hàm đối xứng sẽ thu được một hàm đối xứng khác. Các hàm đối xứng này tạo thành một nhóm gọi là nhóm nhị diện bậc 4, ký hiệu D4. Tập cơ bản của nhóm là tập các hàm đối xứng trên và phép toán nhóm là hàm hợp.[6] Hai đối xứng được kết hợp bằng hợp của các hàm, do vậy biến đổi đối xứng thứ nhất tương đương với áp dụng hàm thứ nhất đối với hình vuông, sau đó phép biến đối xứng với hình vuông kết quả chính bằng áp dụng hàm thứ hai vào hình vuông kết quả thu được. Kết quả của thực hiện đối với a đầu tiên sau đó đối với b được viết theo các ký hiệu từ phải sang trái như

b • a ("áp dụng đối xứng b sau khi thực hiện đối xứng a").Quy ước phải sang trái là giống với quy ước sử dụng các hàm hợp.

Bảng nhóm bên phải liệt kê các kết quả của mọi hàm hợp khả dĩ. Ví dụ, quay về bên phải 270° (r3) sau đó lật ngược hình vuông theo phương ngang (fh) cho cùng kết quả khi thực hiện đối xứng trục dọc theo đường chéo thứ nhất (fd). Sử dụng các ký hiệu ở trên, ô kết quả được tô màu xanh trong bảng nhóm:

fh • r3 = fd.

Bảng nhóm của D4

•	id	r1	r2	r3	fv	fh	fd	fc
id	id	r1	r2	r3	fv	fh	fd	fc
r1	r1	r2	r3	id	fc	fd	fv	fh
r2	r2	r3	id	r1	fh	fv	fc	fd
r3	r3	id	r1	r2	fd	fc	fh	fv
fv	fv	fd	fh	fc	id	r2	r1	r3
fh	fh	fc	fv	fd	r2	id	r3	r1
fd	fd	fh	fc	fv	r3	r1	id	r2
fc	fc	fv	fd	fh	r1	r3	r2	id
Các phần tử id, r1, r2, và r3 tạo thành một nhóm con, tô màu đỏ (vùng bên trái phía trên). Lớp (coset) bên trái và bên phải của nhóm con này lần lượt được tô màu lam (ở hàng cuối) và màu vàng (cột cuối).

Với tập hợp các phép đối xứng này cùng phép toán như đã miêu tả, những tiên đề nhóm có thể hiểu như sau:

Ngược lại với nhóm các số nguyên ở trên, khi thứ tự phép toán là bất kỳ đối với phép cộng, thì thứ tự thực hiện phép toán nhóm trong D4 lại quan trọng: fh • r1 = fc nhưng r1 • fh = fd. Nói cách khác D4 là nhóm phi giao hoán (phi Abel), khiến cấu trúc nhóm của nó trở lên khó hơn so với nhóm số nguyên.